کتاب نخستین درس در جبر مجرد فرالی بهمراه حل تمرین

پیشگفتار ویرایش نخست

اولین هدف این کتاب، ارائه متنی است که دانشجویان متوسط رشته ریاضی با استفاده از آن بتوانند تا جایی که با مطالعه یک درس مقدماتی ممکن است، ادراک عمیقی از جبر مجرد، بدون جبر خطی، به دست آورند. چون غالبا اولین تماس دانشجو با یک نظام مجرد ریاضی در درس جبر صورت می گیرد، هدف دوم ، افشانیدن بذری است که نحوه تفکر ریاضی جدیدی بتواند از آن بروید. تسلط بر این متن باید بنیانی استوار برای مطالعات تخصصی تر در جبر فراهم آورد، و نیز کمک بزرگی برای سایر مطالعات اصل موضوعی در ریاضی باشد. در راستای هدف دومی که ذکر شد، کتاب با یک بخش مقدماتی آغاز می شود که به نقش تعاریف در ریاضیات می پردازد. این نقش بسیار به ندرت تذکر داده می شود. بر ای تا کید بر اهمیت تعاریف، در سراسر متن هر اصطلاحی در تعریف خود با حروف سیاه یا ایرانیک ظاهر می شود.
قسمت I درباره گروه است. در مبحث گروهها و در واقع تمام مباحث متن، تا سر حد امکان، انگیزش مفاهیم در ذهن خواننده با توجه به تجربه گذشته دانشجو از جبر صورت گرفته است. درک مفهوم مهم گروه خارج قسمت اغلب برای دانشجو دشوار است. از این رو بحث درباره گروه خارج قسمت و همومورفیسم را به وقتی موکول کرده ایم که دانشجو اندک تصوری از مفهوم گروه پیدا کرده باشد، تازه در آن وقت هم موضوع را به طور تدریجی و مشروح مورد بحث قرار داده ایم.
در بخشهای بدون ستاره قسمت I ، احکام متعدد و مهمی، با توضیحات نسبتا زیاد و مثالهای کافی ولی بدون اثبات، عرضه شده اند. به نظر من با توجه به وسعت دامنه ریاضی، مهم این است که دانشجو را طوری تربیت کنیم که بتواند احکام به دست آمده را بفهمد و به کار ببرد، بدون آنکه احساس کند همه جزئیات براهین را بدوا باید خود بررسی کند. البته ریاضیدانان حرفه ای هم سالهاست که این کار را می کنند. چنین روشی با این هدف من که دانشجو درک عمیقی از جبر به دست آورد سازگار است، بالاخص که بسیاری از دانشگاهها هم تنها یک ترم به مواد این کتاب اختصاص می دهند.
در قسمت II به حلقهها و میدانها پرداخته شده است. سعی فراوان شده است که تناظر آنها با مطالب قبلی در زمینه گروه خاطر نشان شود. در قسمت II تأکید اصلی بر نظریه میدان است که به نظریه گالوا منجر و آن را شامل می شود. بحث در باره فضای برداری بسیار مختصر است ، وصرفا جهت عرضه مفاهیم استقلال خطی و بعد که در نظریه میدان مورد نیا زند مطرح می شود. چون دانشجویان غالب نظریه میدان را بسیار دشوار می یابند، سعی کرده ام مطلب را به تدریج بیان کنم و همواره روشن سازم که چه میخواهیم بکنیم و چگونه می خواهیم کار را به انجام برسانیم.
خواص اعداد گویا که دانشجویان با آنها آشنا هستند، ولو اینکه ممکن است هرگز توجیه دقیق آنها را ندیده باشند، در طول متن بدون هیچ گونه تذکر یا توضیح مورد استفاده قرار می گیرند. من دریافته ام که دانشجوی متوسط ، مشکل می تواند بفهمد که چرا باید نتایجی راکه سالهاست با آنها آشنایی دارد، مورد مطالعه صوری قرار دهد. ولی پس از به دست آوردن تصویری کلی از ماهیت دستگاههای جبری، دانشجو با دید تازه ای به این خواص می نگرد. این روش با این هدف من که دانشجو درک نسبتا عمیقی ازیک درس نخستین به دست آورد، نیز ساز گار می باشد.
به خاطر علاقه ام به اینکه دانشجو وادارشود مطالب هر چه بیشتری از جبر را فرا بگیرد، مطالب مربوط به نظریه مجموعه ها را به صورت بسیار شهودی و فقط در حد لزوم مورد بحث قرارداده ام. دو راه برای به دست آوردن معلومات عملی از مطالب مربوط به نظریه مجموعه ها وجود دارد : مطالعه فی حد ذاته موضوع یا غرقه شدن در آن و به کار بردن آن در حد نیاز. تجربه من حاکی است که « نظریه مجموعه ها به عنوان پیشنیاز » در آغاز یک درس جبر دلسرد کننده ترین قسمت از تمام درس است. روش من در این مورد منعکس کننده این تمایل من در سراسر کتاب است که در چنین درسی، زیبایی عرضه مطالب ریاضی و گاهی روانی بیان باید فدای فهم مطلب شود.
این کتاب متضمن مطلب کافی برای یک درس دو ترمی در یک کلاس متوسط است ، ولی ، بخشهای بدون ستاره دقیقا برای یک درس یک ترمی در نظر گرفته شده اند. این بخشها خودکفا هستند و در آنها هیچ استفاده ای از بخشهای ستاره دار نمی شود. این قسمتها معرف کوشش من برای ارائه مطالب نسبتا عمیقی از جبر ، از جمله نظریه گالوا، در یک کلاس متوسط و در یک ترم هستند. البته می توان درسهای یک ترمی گوناگون دیگری با استفاده از موضوعات این کتاب ارائه داد. برخی از فصلهای ستاره دار به عنوان تکلیف برای مطالعه خارج از کلاس کاملا مناسب اند، مخصوص فصلهای ۳۷ ، ۱۰ ، ۳۹ و ۴۸. اگر فرصت اتمام نظریه میدان موجود در این متن نباشد، آنگاه یا فصل ۳۵ که شامل قضیه کرونکر است و کاملا همگانی شده است، یا فصل ۳۹، بخش اختتامی رضایتبخشی محسوب می شوند. به نظر من درصورتی که فرصت اتمام مطالب بدون ستاره نباشد، با شروع فصل ۴۰ چیز زیادی عاید نخواهد شد.
تمرینهای پایان هر فصل، معمولا با خطی افقی، به دو دسته تقسیم می شوند. آنهایی که در بالای خط قرار دارند، برای یک کلاس متوسط توصیه می شوند و گاهی خود مؤلف هم در دانشگاه ردایلند آنها را به عنوان تکلیف به دانشجویان می دهد. برای آنکه گذار دانشجو از ریاضیات مجرد تا آنجایی که ممکن است به سهولت انجام بگیرد ، تمرینهای دسته اول را طوری در نظر گرفته ام که عمدتأ محاسباتی باشند. دانشجویان متوسط در مواجهه با یک دسته تمرین که همه با کلمات ثابت کنید یا نشان دهید شروع می شوند، خود را می بازند. البته تربیت دانشجو در توانایی اثبات مهم است. اولین دسته از تمرینها معمولا شامل تمرینهایی است که با علامت بعلاوه مشخص می شوند، و اثباتی را طلب می کنند روش مؤلف این است که حل شده این تمرینهای علامت دار را از دانشجویان بگیرد، آنها را بخواند، و در صورت لزوم از دانشجویان بخواهد که آنها را باز نویسی کنند، تا یاد بگیرند که ریاضی بنویسند و نه مهملات. تمرینهای دسته دوم معمولا شامل تعداد زیادی تمرینهای اثباتی هستند، و نیز تمرینهایی که ماهیت محاسباتی دارند. علامت ستاره در جلو تمرین مشکل بودن تمرین را نشان نمی دهد، بلکه نشان می دهد که تمرین به مطالب ستاره دار متن مربوط است. به مناسبت علاقه ای که به ایجاد یک طرز تفکر صحیح ریاضی دارم، برخی از تمرینها، مخصوصا تمرینهای اوایل متن را طوری بر گزیده ام که ماهیتشان تا حدی فراریاضی باشد. پاسخها و یا راهنماییهای مربوط به تقریبا همه تمرینهایی که برهانی نمی خواهند، در پایان متن آورده شده است. برهانهای خواسته شده در تمرینها ، در بخش پاسخها نیامده اند. فکر نمی کنم از نظر آموزشی صحیح باشد که چنین برهانهایی به این آسانی در دسترس دانشجو قرار گیرد.
پیشنویس اولیه متن به صورت پلی کپی در ترم بهاره سال ۱۹۶۶، در دانشگاه ر دایلند مورد استفاده قرار گرفته است. در اینجا ، دین خودر ا نسبت به جورج ای. مارتین، که یکی از بخشهای درس را تدریس کرده است ابراز می دارم. تذکرات و پیشنهادهای او در آماده سازی این ویرایش برای انتشار، ارزش زیادی برای من داشته است.

ج. ب. ف.
کینگستن، ردایلند
سپتامبر ۱۹۶۶

https://mthmtcs.ir/product/%d9%86%d8%ae%d8%b3%d8%aa%db%8c%d9%86-%d8%af%d8%b1%d8%b3-%d8%af%d8%b1-%d8%ac%d8%a8%d8%b1-%d9%85%d8%ac%d8%b1%d8%af-%d9%81%d8%b1%d8%a7%d9%84%db%8c/