کتاب توپولوژی نخستین درس مانکرز

پیشگفتار

این کتاب برای تدریس در یک درس یک ترمی با دوترمی در سطح لیسانس یا سال اول فوق لیسانس در نظر گرفته شده است.
هر چند توپولوژی خود به خود موضوع جالبی است، با این حال جزء مبانی پژوهشهای پیشرفته در آنالیز، هندسه ، و توپولوژی جبری محسوب می شود. دراین باره که مباحث نخستین درس توپولوژی چه باید باشد توافقی وجود ندارد ؛ برای چنین درسی مباحث متعدد مناسبی را می توان در نظر گرفت ، که هریک برای منظوری مناسب است. در انتخاب مباحث این کتاب ، سعی کرده ام تا بین دیدگاههای مختلف موازنه ای به وجود بیاورم.

پیشنیازها.
برای مطالعه این کتاب رسما به هیچ پیشنیازی احتیاج نیست. حتی فرض نکرده ام که خواننده مقدار زیادی از نظریه مجموعه ها می داند. همینجا باید اضافه کنم که در صورتی که خواننده کمی آنالیز یا «حسابان دقیق» نخوانده باشد، از درک مبنای شهودی مفاهیمی که در بخش اول کتاب معرفی می شوند عاجز خواهد بود. در صورتی که خواننده کمی آشنایی با توابع پیوسته ، مجموعه های باز و بسته ، فضاهای متری ، و مفاهیم مشابه داشته باشد کار بسیار سهل خواهد شد، هرچند که ما فرض را بر این آشنایی نگذاشته ایم. تنها در فصل ۸ فرض کرده ایم که خواننده مقدمات نظریه گروهها را می داند.
تا جایی که تجربه من نشان می دهد ، اکثر دانشجویان درس توپولوژی با بنیادهای ریاضیات آشنایی دارند. البته مقدار این آشنایی از دانشجویی به دانشجوی دیگر بسیار فرق می کند. از این رو، در ابتدای کتاب فصلی را آورده ام که مطالب لازم از منطق و نظریه مجموعه ها را مرور کرده است. این فصل با مطالب مقدماتی آغاز می شود ، و به مطالبی ختم میشود که می توان آنهارا «نیمه تخصصی» نامید. در این فصل مطالبی که در این کتاب مورد احتیاج هستند (و تنها همین مطالب) آورده شده اند. اکثر دانشجویان با مطالب بخشهای اول این فصل آشنا هستند ، اما بسیاری از آنها در اواسط فصل مهارت خود را ناکافی می بینند. از این رو ، وقت و زحمتی که معلم لازم است صرف تدر پس این فصل بکند عمدتا به تجربه و اطلاع ریاضی دانشجویان بستگی دارد. معقولترین معیار برای آنکه دانشجو بفهمد آمادگی آموختن توپولوژی را دارد یا نه ، آن است که بتواند تمرین ها را بسهولت (وبدرستی !) حل کند.

کتاب چگونه سازمان یافته است.
درصورتی که این کتاب برای درس یک ترمی به کار گرفته شود ، باید مبا حتی از آن را برگزید. سعی من آن بوده که چارچوب کتاب به قدری انعطاف پذیر باشد که معلم به آسانی بتواند آنچه را که می خواهد بگوید.
در قسمت اول کتاب چهار فصل آمده که به عقیده من باید از مطالب آنها در هر درس مقدماتی توپولوژی نامی برده شود. می توان این مطالب را «هسته تحویل ناپذیر» توپولوژی نامید که به فضاهای توپولوژیک ، همبندی ، فشردگی (و فشردگی حاصل ضربهای متناهی)، و اصول موضوع شمارایی و جدا سازی (تا قضیه متریسازی اوریسون) می پردازند. بعضی از بخشها با نشانه ستاره مشخص شده اند؛ این بخشها جزء آن هسته اصلی نیستند و می توان آنها را حذف کرد یا بعدا مطالعه کرد، بی آنکه به پیوستگی مطالب لطمه ای بخورد.
قسمت دوم کتاب از چهار فصل تشکیل شده است که کاملا از یکدیگر مستقل هستند. این فصلها تنها به مطالب بخش اول بستگی دارند ؛ معلم می تواند به هر ترتیبی که بخواهد درس دهد. همچنین، اگر بخواهد تنها بخشی از یکی از این فصلها را درس دهد، می تواند به نمودار اول آن فصل مراجعه کند که وابستگی بخشهای آن فصل به یکدیگر را نشان میدهد. مثلا ، معلمی که بخواهد درس خود را با برهان قضیه منحنی ژوردان خاتمه دهد، می تواند از نمودار فصل ۸ بفهمد که برای این منظور کدام یک از بخشهای فصل۸ ضروری و کدام یک حاشیه ای هستند.
بعضی از مطالب فصلهای آخر به یک یا چند بخش ستاره دار قسمت اول کتاب بستگی دارند. این بستگیها در پانوشت اول هر یک از این بخشها و نیز در مقدمه فصل مربوطه تذکر داده شده است. همچنین بعضی از تمرینها به بخشهای ستاره دار پیش از خود بستگی دارند، اما این وابستگی آشکار است.

برنامه های درسی ممکن.
اغلب معلمانی که این کتاب را برای درس یک ترمی به کار می برند میل دارند که مطالب «هسته ای» قسمت اول را همراه با قضیۀ تیخونون (بخش ۵-۱) به کار ببرند. بسیاری موضوعات دیگری را نیز اضافه می کنند. مثلا ، ممکن است کسی بخشهای ستاره دار قسمت اول را نیز در نظر بگیرد. (مثلا ، خود من حداقل فشردگی موضعی را نیز درس میدهم.) یا ممکن است یک یا دو مبحث قسمت دوم را در نظر بگیرد. مثلا، فشرده سازی استون - چخ (بخش ۵-۳)، قضیۀ متریسازی (فصل ۶)، منحنی پئانو (بخش ۷-۲)، یک یا هردوشکل قضیۀ آسکولی (بخش ۷-۳ و بخش ۷-۶)، نظریۀ ابعاد (بخش ۷-۹)، گروههای بنیادی و کاربردهایشان (بخش ۸-۱ تا بخش ۸-۱۰)، یا قضیۀ منحنی ژوردان (بخش ۸-۱۳). خود من در کلاسهای مختلف هریک از این مباحث را درس داده ام.
معلمی که بخواهد به توپولوژی جبری تکیه کند ، یکی از برنامه های درسی ممکن عبارت است از فصلهای ۱ تا ۳ به همراه همۀ فصل ۸. حذف فصل ۲ مشکلی به وجود نمی آورد ، به شرط آنکه از تمرین ۵ در بخش ۸-۱۲ صرف نظر شود، زیرا در این تمرین از مفهوم فضای نرمال استفاده شده است.
برنامه درسی دیگر برنامه ای است که کمیته دروس لیسانس ریاضی (وابسته به انجمن ریاضی آمریکا برای یک درس یک ترمی برای سال اول فوق لیسانس پیشنهاد کرده است. این برنامه شامل فصلهای ۲، ۳، و ۴، و به دنبال آن بخشهای ۵-۱؛ ۶-۱ ، ۶-۳، ۶-۴
۱-۷ ؛ ۱-۸ تا ۸-۵ ، بخشهای ۸-۸ تا ۸-۱۱، و بخش ۸-۱۴. در این برنامه فرض بر این است که خواننده با نظریه مجموعه ها در سطح فصل ۱ این کتاب آشنایی دارد.
برای یک درس دوترمی ، می توان بخوبی همه کتاب را در می داد.

جیمز ر. مانکرز

https://mthmtcs.ir/product/munkres_james-_topology/