حاصل ضرب تانسوری (۱-فضاهای برداری)

گزاره ۱٫۱ :
فرض کنید $G_1,F,E$ و $G_2$ فضاهای برداری و
\beginalign*
\pi_2 : E \times F \To G_2 \quad , \quad \pi_1 : E \times F \To G_1
\endalign*
نگاشتهای دوخطی باشند.اگر برای هر فضای برداری $M$ وهر نگاشت دوخطی $ \chi : E \times F \To M $ نگاشتهای خطی منحصر به فرد
\beginalign*
\eta_2 : G_2 \To M \qquad , \qquad \eta_1 : G_1 \To M
\endalign*
وجود داشته باشد بطوریکه $ \eta_2 \! \circ \pi_2 =\chi $ و $ \eta_1 \! \circ \pi_1 =\chi $، آنگاه یک ایزومرفیسم مانند $ \varphi : G_1 \To G_2 $ وجود دارد بطوریکه $ \varphi \circ \pi_1 = \pi_2 $ .

اثبات:
ابتدا فرض کنیم $ M = G_2 $ و $ \chi = \pi_2 $ آنگاه بنابر فرض $ \psi_1 : G_1 \To M = G_2 $ بطوریکه $ \psi_1 \circ \pi_1 = \pi_2 $. حال $ M = G_1 $   و $ \chi = \pi_1 $ آنگاه بنابر فرض $ \psi_2 : G_2 \To M = G_1 $ بطوریکه $ \psi_2 \circ \pi_2 = \pi_1 $.  با ترکیب دو رابطه بالا داریم
\beginalign*
(\psi_1 \circ \psi_2) \circ \pi_1 = \pi_2 \qquad , \qquad (\psi_2 \circ \psi_1) \circ \pi_1 = \pi_1
\endalign*
حال چون $ \rm id_G_1 \circ \pi_1 = \pi_1 $ و $ \rm id_G_2 \circ \pi_2 = \pi_2 $ تجزیه های دیگری از این نوع می باشند. لذا بنابر یکتایی تجزیه داریم:
\beginalign*
\psi_1 \circ \psi_2 = \rm id_G_2 \qquad , \qquad \psi_2 \circ \psi_1 = \rm id_G_1
\endalign*
و در نتیجه $ \psi_1 $ یک به یک و پو شا می باشد و $ \psi_1 \circ \pi_1 = \pi_2 $ . در نتیجه $ \varphi = \psi_1 $ و اثبات کامل می شود.

$\blacksquare$

نکته ۱٫۱ :
با توجه به اثبات گزاره ۱٫۱ شرط یکتایی تجزیه اساسی می باشد. با این حال هنگامی که نگاشتهای $\pi_1$ و $\pi_2$ پوشا هستند و یا بردشان به ترتیب $ G_1 $ و $ G_2 $ را تولید می کند تجزیه یکتاست.

فرض کنیم $ \chi : E\times F \To M $ نگاشت دوخطی باشد و $ \beta : G_1 \To M $ و $ \beta' : G_1 \To M $ دو تجزیه مختلف برای $ \chi $ باشند یعنی $ \beta \circ \pi_1 = \chi $ و $ \beta' \circ \pi_1 = \chi $. اگر هر $ g \in G_1 $ را بتوان به صورت $ g= \sum \pi_1 (e_i,f_i) $ آنگاه $ \chi =\beta \circ \pi_1 =\beta' \circ \pi_1 $ نتیجه می دهد که
\beginalign*
\beta (g) &= \beta \left( \sum \pi_1 (e_i,f_i) \right) = \sum \chi(e_i,f_i)\cr
&= \sum \beta'(\pi_1 (e_i,f_i)) = \beta' \left( \sum \pi_1(e_i,f_i) \right) = \beta'(g)
\endalign*
لذا  $ \beta = \beta' $.

ساختار ضرب تانسوری جبری

فرض کنیم $E$ و $F$ فضای برداری باشند

 

در حالت کلی $X^(Y)$ مجموعه تمام نگاشتهای از $Y$ بتوی $X$ می باشند بطوریکه دارای برد متناهی هستند. اعمال روی $\Bbb C^(E \times F)$ را به صورت زیر تعریف می کنیم :
\beginalign*
\sum\lambda(e,f)+\sum\mu(e,f)=\sum(\lambda+\mu)(e,f)
\endalign*
\beginalign*
\mu\sum\lambda(e,f)=\sum(\mu\lambda)(e,f)
\endalign*
بااین اعمال $\Bbb C^(E \times F)$ به فضای برداری روی $\Bbb C$ با پایهٔ $E\times F$ تبدیل می شود. حال زیر فضای برداری تولید شده توسط عناصر زیر را $ \calN $ می نامیم
\beginalign*
(e_1+e_2,f)-(e_1,f)-(e_2,f)
\endalign*
\beginalign*
(e,f_1+f_2)-(e,f_1)-(e,f_2)
\endalign*
\beginalign*
\lambda(e,f)-(\lambda e,f)\quad \mboxو\quad \lambda(e,f)-(e,\lambda f)
\endalign*
که $ e,e_1,e_2 \in E ,\ f,f_1,f_2 \in F $ و $ \lambda \in \Bbb C $ . حال ضرب تانسوری جبری $E$ و $F$ را فضای خارج قسمتی
\beginalign*E \odot F := \Bbb C^(E \times F)/ \cal N
\endalign*
تعریف می کنیم. حال اگر $\pi$ نگاشت خارج قسمتی از $\Bbb C^(E\times F)$ بروی $E\odot F$ باشد آنگاه چون
\beginalign*
\lambda(e,f)-(\lambda e,f)\in\cal N\quad \mboxو\quad (e_1+e_2,f)-(e_1,f)-(e_2,f)\in\cal N
\endalign*
\beginalign*
\lambda(e,f)-(e,\lambda f)\in\cal N\quad \mboxو\quad (e,f_1+f_2)-(e,f_1)-(e,f_2)\in\cal N
\endalign*
داریم
\beginalign*
\pi(\lambda e_1+e_2,f)=\lambda\pi(e_1,f)+\pi(e_1,f)
\endalign*
\beginalign*
\pi(e,\lambda f_1+f_2)=\lambda\pi(e,f_1)+\pi(e,f_2)
\endalign*
لذا تحدید $\pi$ بروی $E\times F$ دوخطی می باشد. عناصر $\pi(e,f)\in E\odot F$ که $e\in E,\ f\in F$ را عناصر ابتدایی می نامیم و با $e\otimes f$ نمایش می دهیم. چون $\pi$ پوشا می باشد هر عضو $t$ در $E\odot F$ را می توان به صورت مجموع متناهی از عناصر ابتدایی نوشت.
\beginalign*
t= \sum_i=1^N e_i\otimes f_i
\endalign*
اما این مجموع یکتا نیست چون $\pi$ یک به یک نیست. با توجه به ساختار $E\odot F$ داریم
\beginalign*
(e_1+e_2)\otimes f=e_1\otimes f+e_2\otimes f
\endalign*
\beginalign*
e\otimes(f_1+f_2)=e\otimes f_1+e\otimes f_2
\endalign*
\beginalign*
\lambda(e\otimes f)=\lambda e\otimes f=e\otimes \lambda f
\endalign*
از روابط بالا آشکار است که برای هر $e\in E,\ f\in F$ داریم
\beginalign*
۰=۰\otimes 0=0\otimes f=e\otimes 0
\endalign*

گزاره ۲٫۱ :
فرض کنید $F,E$ فضای برداری و $\pi:E\times F\To E\odot F$ نگاشت دوخطی کانونی باشد.اگر $M$ یک فضای برداری و $\psi:E\times F\To M$ نگاشت دوخطی باشد آنگاه $\psi$ بطوریکتا روی $E\odot F$ توسیع می یابد یعنی نگاشت خطی یکتای $\varphi:E\odot F\To M$ وجود دارد بطوریکه $\varphi\circ\pi=\psi$.

اثبات:
ابتدا $\psi$ را با استفاده از خاصیت خطی به نگاشت خطی $\tilde\psi :\mathbb C^(E\times F)\To M$ بصورت زیر توسیع می دهیم
\beginalign*\tilde\psi \left(\sum\lambda(e,f)\right)=\sum\lambda\psi(e,f),\qquad e\in E,\ f\in F,\ \lambda\in\mathbb C
\endalign*
با توجه به خواص خطی $ \psi $ واضح است که $ \tilde\psi(\mathcal N)=0 $. حال نگاشت $ \varphi:E\odot F\To M $ را به صورت زیر تعریف می کنیم. فرض کنیم $ t\in E\odot F $ پس $ x\in \mathbb C^(E\times F) $ وجود دارد بطوریکه $ \pi(x)=t $ قرار می دهیم $ \varphi(t)=\tilde\psi(x)$. حال چون $ \tilde\psi(\mathcal N)=0 $ ، اگر $ t_1 , t_2 \in E\odot F $ و $ t_1=t_2 $ لذا $ t_1-t_2\in\mathcal N $ و در نتیجه $ \tilde\psi(t_1-t_2)=0 $ و $ \varphi(t_1)=\varphi(t_2) $ .
لذا $ \varphi $ خوشتعریف است.

فرض کنیم $ \gamma\in\mathbb C\ ,\ t_1=\pi(\sum\lambda(e,f))\in E\odot F\ ,\ t_2=\pi(\sum\mu(e,f))\in E\odot F $ پس
\beginalign*
\varphi(\gamma t_1+t_2)&=\varphi(\gamma(\pi(\sum\lambda(e,f)))+\pi(\sum\mu(e,f)))\\
&=\varphi(\pi(\sum(\gamma\lambda+\mu)(e,f))= \tilde\psi(\sum(\gamma\lambda+\mu)(e,f))\\
&=\tilde\psi(\sum(\gamma\lambda(e,f))+ \tilde\psi(\sum\mu(e,f))= \gamma(\tilde\psi(\sum\lambda(e,f)))+\tilde\psi(\sum\mu(e,f))\\
&=\gamma(\varphi(\pi(\sum\lambda(e,f))))+ \varphi(\pi(\sum\mu(e,f)))\\
&=\gamma(\varphi(t_1))+\varphi(t_2)
\endalign*
لذا $ \varphi $ خطی می باشد و داریم $ \varphi\circ\pi(e,f)=\psi(e,f)$.

$\blacksquare$

نکته ۲٫۱ :
بنابر گزاره بالا می توان گفت $E\odot F$ فضای برداری یکتای است بطوریکه برای هر فضای برداری $ M $ داریم
\beginalign*
\rm\bf Bil(E\times F ,\ M)\simeq\rm\bf Lin(E\odot F ,\ M)
\endalign*
توجه داریم که پیوستگی $ \psi $ پیوستگی $ \varphi $ را ایجاب نمی کند حتی اگر $ \pi $ پیوسته باشد. ما این مطلب را بعداً مورد بررسی قرار می دهیم.

گزاره ۳٫۱ :
اگر $ \ e_j \_\mathcal J $ پایه‌ای برای $ E $ و $ \ f_k \_\mathcal K $ پایه‌ای برای $ F $ باشد. آنگاه $ \e_j\otimes f_k\_\mathcal J\times\mathcal K $ پایه‌ای برای $ E\odot F $ می باشد و $ \rm dim(E\odot F)=\rm dim(E)\rm dim(F) $ . علاوه بر این داریم
\beginalign*
E^(\mathcal K)\simeq E\odot F\simeq F\odot E \quad\mboxو\quad E\odot(F\odot G)\simeq(E\odot F)\odot G
\endalign*
که $ E^(\mathcal K) $ فضای تمامی نگاشتها از $\mathcal K $ بتوی $ E $ با برد متناهی می باشند.

اثبات:
فرض کنیم $ G_1:=E\odot F $ و $ G_2:=E^(\mathcal K) $ . گزاره ۱٫۱ را بکار می بریم و ثابت می کنیم که $ G_1\simeq G_2 $ . نگاشتهای دوخطی $ \pi_1:E\times F\To G_1 $ و $ \pi_2:E\times F\To G_2 $ بصورت زیر تعریف می کنیم
\beginalign*
\pi_1:(e,f)\mapsto e\otimes f\ ,\quad \pi_2:(e,\sum_k\in\mathcal K\lambda_kf_k )\mapsto(\lambda_ke)_k\in\mathcal K
\endalign*
توجه داریم که $ G_1 $ و $ G_2 $ توسط برد نگاشتهای $ \pi_1 $ و $ \pi_2 $ تولید می شود. مجموعهٔ
\beginalign*
\\ \pi_2(e_j,f_k)=(\delta_k i\,e_j)_i\in\mathcal K\ ;\ (j,k)\in \mathcal J\times K\ \
\endalign*
پایه‌ای برای $ E^(\mathcal K) $ می باشد. فرض کنید $ \chi $ نگاشتی دو خطی از $ E\times F $ به توی فضای برداری $ M $ باشد. با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی منحصر بفرد $ \eta_1:E\odot F\To M $ بطوریکه $ \eta_1\circ\pi_1=\chi $.

حال نگاشت $ \eta_2:E^(\mathcal K)\To M $ را به صورت زیر تعریف می کنیم
\beginalign*
\eta_2((e_k)_\mathcal K):=\sum_\mathcal K \chi(e_k,f_k)
\endalign*
چون $ \chi $ دوخطی می باشد لذا $ \eta_2 $ خطی می باشد و داریم
\beginalign*
\eta_2\circ\pi_2(e,\sum_\mathcal K\lambda_kf_k)=\eta_2((\lambda_ke)_\mathcal K)=\sum_\mathcal K\chi(\lambda_ke,f_k)=\chi(e,\sum_\mathcal K\lambda_kf_k)
\endalign*
پس $ \eta_2\circ\pi_2=\chi $.

و با استفاده از گزاره ۱٫۱ نتیجه می شود که $ E\odot F\simeq E^(\mathcal K) $ و یک ایزومرفیسم $ \varphi:E\odot F\To E^(\mathcal K) $ بطوریکه $ \varphi\circ\pi_1=\pi_2 $. بویژه $ \varphi(e_j\otimes f_k)=\pi_2(e_j,f_k) $ و در نتیجه مجموعهٔ
\beginalign*
\ e_j \otimes f_k\ ;\ (e_j,f_k)\in\mathcal J\times K \=\varphi^-1 \ \pi_2 (e_j,f_k)\ ;\ (j,k)\in\mathcal J\times K \
\endalign*
که تصویر ایزومرفیک پایه‌ای از $ E^(\mathcal K) $ می باشد، پایه‌ای برای $ E\odot F $ می باشد.

حال نگاشت خطی القا شده توسط نگاشت دوخطی $ (e,f)\mapsto f\otimes e $ را در نظر می گیریم واضح است که $ \phi $ ایزومرفیسم می باشد چون پایه را به پایه می برد و لذا $ E\odot F\simeq F\odot E $.

بطور مشابه نگاشت $ \phi:(e,f\otimes g)\mapsto (e\otimes f)\otimes g $ از $ E\times(F\odot G) $ بتوی $ (E\odot F)\odot G $
دوخطی می باشد زیرا
\beginalign*
\phi((\lambda e_1+e_2),f\otimes g)&=((\lambda e_1+e_2)\otimes f)\otimes g\cr
&=(\lambda(e_1\otimes f))\otimes g+(e_2\otimes f)\otimes g\cr
&=\lambda\phi((e_1,f\otimes G))+\phi((e_2,f\otimes G))
\endalign*
\beginalign*
\phi(e,\lambda(f_1\otimes g_1)+f_2\otimes g_2)=\lambda\phi(e,f_1\otimes g_1)+\phi(e,f_2\otimes g_2)
\endalign*
حال نگاشت القا شده توسط $ \phi $ درنظر می گیریم که یک ایزومرفیسم از $ E\odot (F\odot G) $ به $ (E\odot F)\odot G $ می باشد.

$\blacksquare$

از گزاره بالا داریم $ E\odot F $ و $ F\odot E $ بطورجبری ایزومرفیسم می باشند اما نرمهای نامتقارنی وجود دارند که $ E\odot F $ و $ F\odot E $ را تبدیل به فضاهای نرمدار متفاوتی می کند.

گزاره ۴٫۱ :
فرض کنیم $ f_1,f_2,\dots,f_N\in F $ مستقل خطی باشند. اگر $ e_1,e_2,\dots,e_N\in E $ و $ \sum_i=1^Ne_i\otimes f_i=0$ آنگاه $ e_1=e_2=\cdots=e_N=0 $.

بویژه اگر $ \f_k\_K $ پایه ای برای $F$ باشد آنگاه هر $ t\in E\odot F $ نمایش منحصر به فرد $ \sum_Ne_k\otimes f_k $ (مجموع متناهی) دارد.

اثبات:
فرض کنیم $ \ \mathfrak e_1,\mathfrak e_2,\dots,\mathfrak e_n \ $ پایه ای برای $ \mathfrak E :=\rm Span\e_1,e_2,\dots,e_N\ $ واضح است که $ n\leqslant N $ و $ \\mathfrak e_\,l\_L $ توسیع $ \\mathfrake_1,e_2,\dots,e_n\ $ به پایه ای برای $ E $ باشد و $ \f_k\_K $ توسیع $ \f_1,f_2,\dots,f_N\ $ به پایه ای برای $F$ باشد. لذا $ e_i=\sum_j=1^n \lambda_i j\mathfrak e_j $ برای $ ۰\leqslant i\leqslant N $ و
\beginalign*
۰=\sum^N_i=1e_i\otimes f_i=\sum^N_i=1(\sum_j=1^n\lambda_i j\mathfrak e_j)\otimes f_i=\sum_i=1,j=1^N,n\lambda_i j(\mathfrak e_j\otimes f_i)
\endalign*
چون $\\mathfrak e_\,l\otimesf_k\_L\times K $ پایه ای برای $ E\odot F $ می باشد. لذا $ \lambda_i j=0 $ برای هر $ ۱\leqslant i\leqslant N , 1\leqslant j\leqslant n $ و در نتیجه $ e_1=e_2=\cdots=e_N $ و قسمت اول گزاره اثبات می شود.

حال اگر $ \f_k\_K $ پایه ای برای $F$ باشد، پایه ای مانند $ \e_l\_L $ برای $E$ انتخاب می کنیم و در نتیجه هر عضو $E\odot F$ را می توان به صورت یکتا به صورت $\sum \lambda_l k(e_l\otimes f_k)$ نوشت که تعداد متناهی از $\lambda_l k$ غیر صفر می باشند. فرض کنیم $\sum_i=1^n\lambda_i(e_i\otimes f_i)$ عضوی از $E\odot F$ باشد این شکل نمایش همانگونه که گفته شد یکتا می باشد و در نتیجه $\sum_i=1^n\lambda_i(e_i\otimes f_i)=\sum_i=1^n(\lambda_ie_i)\otimes f_i $ و لذا حکم دوم نیز ثابت می شود.

$\blacksquare$

https://mthmtcs.ir/tensor-product-1/