حاصل ضرب تانسوری (۲- ضرب و پیچش)

هنگاهی که $E$ و $F$ جبر می باشند می توان ضربی روی $E\odot F$ تعریف کرد با این خاصیت که برای هر $e_1, e_2\in E$ و $f_1, f_2\in F$ داریم $(e_1\otimes f_1)(e_2\otimes f_2):=e_1e_2\otimes f_1f_2$. برای تعریف چنین ضربی بصورت زیر عمل می کنیم.

ابتدا برای هر $e\in E$ و $f\in F$ ثابت، نگاشت دوخطی $\psi_e,f:E\times F\To E\odot F$ تعریف شده بصورت $\psi_e,f:(g,h)\mapsto eg\otimes fh$ را در نظر می گیریم با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی منحصر بفردی مانند $\varphi_e,f:E\odot F\To E\odot F$ وجود دارد بطوریکه $\varphi_e,f\circ\pi=\psi_e,f$.

حال نگاشت دوخطی $\varphi:E\times F\To \rm Hom(E\odot F)$ را به صورت $\varphi:(e,f)\mapsto\varphi_e,f$ تعریف می کنیم
دوباره با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی منحصر بفردی مانند $\mu:E\odot F\To E\odot F$ وجود دارد
بطوریکه $\mu\circ\pi=\varphi$ و
\beginalign*
\mu(\sum e_i\otimes f_i)(\sum g_j\otimes h_j)&=\sum\varphi(e_i,f_i)(\sum g_j\otimes h_j)\cr
&=\sum\varphi_e_i,f_i(\sum g_j\otimes h_j)=\sum\sum e_ig_j\otimes f_ih_j
\endalign*
حال عمل ضرب بین دو عنصر $s,t\in E\odot F$ را $t\cdot s:=\mu(t)(s)$ تعریف می کنیم و $E\odot F$ تبدیل به یک جبر می شود.

فضای برداری مزدوج، فضای برداری $V$ را با $V^c$ نمایش می دهیم. بنابراین $V$ با $V^c$ به عنوان گروه آبلی یکی هستند اما ضرب اسکالر روی $V^c$ به صورت $(\lambda,\upsilon)\mapsto\bar\lambda\upsilon$ تعریف می شود. اگر $V$ و $W$ فضاهای برداری مختلط باشند و $T:V\To W$ نگاشتی خطی و $S:V\To W$ نگاشتی مزدوج خطی باشد آنگاه نگاشتهای $T:V\To W^c$، $ T:V^c \To W $، $ S: V^c \To W^c $ خطی مزدوج و $T:V^c\To W^c$، $S:V\To W^c$، $S:V^c\To W$ خطی می باشند.

اگر $E$ و $F$ $*$-جبر باشند می توان یک پیچش روی $E\odot F$ وابسته به پیچشهای که روی $E$ و $F$ وجود دارد، تعریف کرد. فرض کنیم $\frak s:E\times F\To (E\odot F)^c$ نگاشت دوخطی تعریف شده به صورت $\frak s:(e,f)\mapsto e^*\otimes f^*$ باشد بنابر گزاره ۲٫۱ نگاشت یکتای $*:E\odot F\To (E\odot F)^c$ بطوریکه $*\circ\pi=\frak s$. یعنی
\beginalign*
(\sum e_i\otimes f_i)^*=\sum e_i^*\otimes f_i^*
\endalign*

گزاره ۵٫۱ :
فرض کنید $B\:,\:A$ و $C$ جبر باشند. اگر $\psi:A\times B\To C$ نگاشت خطی ضربی ( یعنی $\psi(aa^\prime,bb^\prime)=\psi(a,b)\psi(a^\prime,b^\prime)$ ) باشد. آنگاه $\psi$ بطوریکتا به نگاشت خطی ضربی $\varphi:A\odot B\To C$ توسیع می یابد. اگر $\psi$ حافظ پیچش باشد، آنگاه $\varphi$ نیز چنین است.

اثبات:
با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی یکتای $\varphi:A\odot B\To C$ بطوریکه $\varphi\circ\pi=\psi$. لذا $\varphi(\sum a_i\otimes b_i)=\sum\psi(e_i,b_i)$. حال چون $\varphi$ خطی می باشد، کافی است ثابت کنیم
\beginalign*
\varphi((a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2))&=\varphi(a_1a_2\otimes b_1b_2)\cr
&=\psi(a_1a_2,b_1b_2)\cr
&=\psi(a_1,b_1)\psi(a_2,b_2)\cr
&=\varphi(a_1\otimes b_1)\varphi(a_2\otimes b_2)
\endalign*
لذا $\varphi$ ضربی می باشد. حال اگر $\psi$ حافظ پیچش باشد، دوباره با استفاده از خاصیت خطی $\varphi$ داریم $\varphi(a^*\otimes b^*)=\psi(a^*,b^*)=\psi(a,b)^*=\varphi(a\otimes b)^*$ و در نتیجه $\varphi$ حافظ پیچش می باشد.

$\square$

با استفاده از گزاره های ۲٫۱ و ۵٫۱ نتایج مهم زیر را داریم

• اگر $\psi_E:E\To G$ و $\psi_F:F\To H$ نگاشتهای خطی باشند، آنگاه $\psi_E\odot\psi_F:E\odot F\To G\odot H$ را نگاشت خطی تعریف شده به صورت $\psi_E\odot\psi_F:e\otimes f\mapsto \psi(e)\otimes\psi(f)$ در نظر می گیریم که توسیع نگاشت دوخطی $(e,f)\mapsto \psi(e)\otimes\psi(f)$ می باشد.
  
  اگر در فضاهای زمینه ضرب تعریف شده باشد و $\psi_E,\psi_F$ ضربی باشند آنگاه $\psi_E\odot\psi_F$ نیز ضربی خواهد بود.
  


• اگر $\varphi_E:E\To G$ و $\varphi_F:F\To G$ نگاشتهای خطی و $G$ جبر باشد، آنگاه $\varphi_E\odot\varphi_F:E\odot F\To G$ را نگاشت تعریف شده به صورت $\varphi_E\odot\varphi_F:e\otimes f\mapsto \varphi_E(e)\,.\,\varphi_F(f)$ در نظر می گیریم که توسیع نگاشت دوخطی $(e,f)\mapsto \varphi_E(e)\,.\,\varphi_F(f)$ می باشد.
  
  اگر $E$ و $F$ جبر باشند و $\varphi_E,\varphi_F$ ضربی و جابجا (یعنی $\varphi_E(e)\varphi_F(f)=\varphi_F(f)\varphi_E(e)$) شوند، آنگاه $\varphi_E\odot\varphi_F$ نیز ضربی می باشند.
  


• در مثالهای بالا با استفاده از نگاشتهای خطی روی فضاها، نگاشتهایی خطی روی ضرب تانسوری این فضاها تعریف کردیم. عکس این سوال نیز مهم است. یعنی آیا برای نگاشت $\xi:E\odot F\To G$، نگاشتهای $\varphi_E:E\To G$ و $\varphi_F:F\To G$ وجود دارد بطوریکه $\varphi_E\odot\varphi_F=\xi$. هنگامی که $\varphi_E$ و $\varphi_F$ وجود داشته باشند آنها را تحدید $\xi$ خوانیم.
  

مثال ۱٫۱ :

• $A\simeq A\odot \Bbb C$ .
  
  فرض کنیم نگاشت خطی $\varphi:\sum a_k\otimes\lambda_k\mapsto \sum\lambda_k a_k$ از $A\odot\Bbb C$ بتوی $A$ توسیع نگاشت دوخطی $(a,\lambda)\mapsto \lambda a$ از $A\times\Bbb C$ به $A$ باشد. بوضوح $\varphi$ پوشا و یک به یک می باشد. اگر $A$ جبر (با پیچش) باشد آنگاه $\varphi$ ضربی (حافظ پیچش) می باشد.
  


• جبرهای ماتریسی: $A\odot\Bbb M_n(\Bbb C)\simeq\Bbb M_n(A)$
  
  ماتریسهای $n\times n$ با ۱ در درایه با سطر $i$ و ستون $j$ و بقیه درایه ها صفر. لذا هر عضو $A\odot \Bbb M_n$ را می توان بطور منحصر بفرد به صورت
  \beginalign*
  t=\sum a_i j\otimes e_i j
  \endalign*
  نوشت. حال نگاشت $\psi:A\odot\Bbb M_n(\Bbb C)\To \Bbb M_n(A)$ تعریف شده بصورت $\psi:\sum a_i j\otimes e_i j\mapsto (a_i j)$ خطی و ضربی ($e_i j\cdot e_km=\delta_j k\cdot e_i m$) و حافظ پیچش ($e_i j^*=e_j i$) می باشد و آشکارا دوسویی نیز می باشد.
  


• نشاندن به عنوان زیرمجموعه چگال: $C_0(X)\odot A\hookrightarrow C_0(X\rightarrow A)$
  
  که $X$ فضای موضعاً فشرده و $A$ $C^*$-جبر می باشد. فرض کنیم نگاشت خطی $\varphi:C_0(X)\odot A\To C_0(X\rightarrow A)$ توسیع نگاشت دوخطی $\psi:C_0(x)\times A\To C_0(X\rightarrow A)$ تعریف شده به صورت $\psi:(f,a)\mapsto \psi_(f,a)$ که $\psi_(f,a)(x)=f(x)a$ اشد. واضح است که $\psi_(f,a)\in C_0(X\rightarrow A)$.
  
  حال ثابت می کنیم که $\varphi$ یک به یک می باشد. فرض کنیم $\a_j\_J$ پایه ای برای $A$ باشد.
  پس می توان هر عضو $C_0(X)\odot $ را بطور یکتا به صورت $\sum f_j\otimes a_j$ نوشت. حال فرض کنیم $\varphi(\sum f_j\otimes a_j)=0$ لذا $\sum\psi_(f_j,a_j)=0$ و در نتیجه برای هر $x\in X$ داریم
  $\sum\psi_(f_j.a_j)(x)=\sum f_j(x)a_j=0$ و در نتیجه برای هر $x\in X$ و هر $j$ داریم $f_j(x)=0$ و $f_j\equiv 0$
  پس $\sum f_j\otimes a_j=0$ و $\varphi$ یک به یک می باشد.
  
  حال نشان می دهیم که $C_0(X)\odot A$ در $C_0(X\rightarrow A)$ چگال می باشد.
  
  فرض کنیم $f\in C_0(X\rightarrow A)\ ,\ 0
  \beginalign*
  \cal O_x:=\\ f_0(x)\ -\ f_0(y)\ \
  \endalign*
  چون $X_0$ فشرده می باشد لذا این پوشش دارای زیر پوشش متناهی می باشد. پس $x_1,\ldots,x_n$ وجود دارد بطوریکه $X_0\subseteq\cup_i=1^n \cal O_x_i $ . با استفاده از قضیه افراز واحد ((گزاره ۴۱.۴ کتاب آنالیز حقیقی فولند)) روی $X_0$ داریم:
  
  توابع $g_x_i\in C_0(X\rightarrow [0,1])$ وجود دارد بطوریکه $g_x_i|X_0\backslash\cal O_x_i=0$ و $\sum g_x_i=1$ روی $X_0$ و $۰\leq\sum g_x_i\leq 1$ روی $X\backslash X_0$ . فرض کنیم $g:=\sum g_x_i\otimes f(x_i)$ پس $g\in C_0(X)\odot A$ و $\varphi(g)$ تقریبی از $f_0$ و لذا تقریبی از $f$ می باشد.
  

https://mthmtcs.ir/tensor-product-2/